Pienempiä tiedostoja:
UsingTheEmptySet.html ja
UsingTheEmptySet.nb.
Conway's Game of Life freeware for Windows 95/98/NT
Vuonna 1992 Helsingissä pidetyillä ensimmäisellä MATEMATIIKAN OPETUKSEN PÄIVILLÄ kerroin kaksi vuotta aiemmin löydetystä Abelin neliöistä vapaasta nelikirjaimisen aakkoston endomorfismista g85. Jo tuolloin oli ilmeistä, että olimme löytäneet hyvin harvinaisen rakenteen. Nyt yli kymmenen vuoden, välillä hyvinkin intensiivisen, tutkimuksen jälkeen palaamme asiaan. Rakenne on osoittautunut tavattoman paljon harvinaisemmaksi kuin kukaan saattoi arvata. Lukuunottamatta Arturo Carpin löytämiä g85:n iterointiin perustuvia valtavan kokoisia sijoituksia, g85:n lähiavaruus näyttää täysin tyhjältä. Olemme suorittaneet mm. insinööritöiden yhteydessä laajoja tietokoneajoja muiden endomorfismien löytämiseksi. Todellakin vain kokeellisia menetelmiä tunnetaan tähän tarkoitukseen. Nämä edelleenkin käynnissä olevat tietokoneajot ovat löytäneet endomorfismeja, jotka lähestulkoon läpäisevät kaikki testit, mutta kuitenkin epäonnistuvat muutaman testisanan kohdalla. Ohjelmien tuottamien kuvasanaehdokkaiden alku- ja loppuosat kasvavat satunnaisella tavalla ja lopputuloksena (melkein aina) saatavat tyhjät joukkot muodostavat erittäin epäintuitiivisen ilmiön. Sama pätee ohjelmien ajoaikaan eri lähtöarvoilla - 1000-kertaiset erot eivät ole harvinaisia samanlaisilta näyttäville lähtöarvoille! Lisäksi g85:n rakenteessa on erikoinen säännöllisyys, jolle ei ole löytynyt selitystä.
Tilanne tuo mieleen Riemannin hypoteesin, johon liittyvää kokeellista puolta käsittelemme esityksessä lyhyesti. Väistämättä tulee myös ajatelleeksi Gödelin, Turingin ja Chaitinin epätäydellisyystuloksia sekä Wolframin kokeellisen matematiikan valtavaa projektia. Voihan olla, etteivät Abelin neliöistä vapaiden merkkijonojen rakententeet perustu mihinkään perinteisen matematiikan syyhyn.
Tarkastelemme esimerkkejä tietokone(algebran) ohjelmista, joissa tyhjä joukko (tai tyhjä sana) on luonnollinen lähtökohta ja sen huomioon ottaminen selkeyttää käsitteitä sekä tekee koodista luotettavan. Usein laskenta myös päättyy tyhjään joukkoon. Esimerkkejä: UsingTheEmptySet.html ja UsingTheEmptySet.nb.
Hilbert (1900), Gödel (1931), Turing (1936) - ristiriita ja epäonnistunut projekti, jonka tuloksena syntyi tietokone
Matematiikalla on ehkä useita perusteita: aksiomaattinen, geometrinen, kokeellinen, ...
Teoreemojen automaattinen todistus (edut ja vaarat)
Onko P = NP? -ongelma ratkeamaton? Jos on ja se voidaan todistaa, niin mitkä ovatkaan käytössä olevat aksiomit? Entä jos niitä muutetaan? Silloin voitaisiin löytää ristiriidaton matematiikan versio, jossa P = NP (matemaatikkojen paratiisi). Siis luultavasti alkuperäisen kysymyksen totuusarvoa ei saada selville. Ian Stewart pohti tätä asiaa New Scientist -lehdessä 15.9.2001, s. 36 - 39.
Laskennan fysikaalisella perustalla on merkitystä (Turingin kone / kvanttilaskenta)
Löydetäänkö matemaattiset totuudet vai keksitäänkö ne?
Kerron kuulumisia IMS 2001 -tapahtumasta Japanista ja toivotan kuulijat tervetulleiksi seuraavaan, vuoden 2003, symposiumiin Imperial Collegessa Lontoossa.
Olen vuoden alusta lähtien toiminut YTL:ssä matemaatikkojäsenenä. Kuulisin mielelläni ammattikorkeakoulujen opettajien toiveita esimerkiksi juuri alkanutta lukion opetussuunnitelman uudistus-/tarkistustyötä varten.